Chứng minh rằng : \(2222^{5555}+5555^{2222}\) chia hết cho 7

Giải

Ta có 2222 + 4 \(\vdots\) 7 => 2222  ≡ (- 4) (mod 7) => \(2222^{5555}\)  ≡ \((-4)^{5555}\)(mod 7)

          5555 –  4  \(\vdots\)7 => 5555  ≡   4 (mod 7) => \(5555^{2222}\)  ≡ \(4^{2222}\)(mod 7)

=>\(2222^{5555}+5555^{2222}\)≡ \((-4)^{5555}+4^{2222}\)  (mod 7)

Mà \(4^{2222}=(-4)^{2222}\) 

\(\begin{gathered} \Rightarrow {( – 4)^{5555}} + {4^{2222}} = {( – 4)^{2222}}{.4^{3333}} + {4^{2222}} \hfill \\ = {( – 4)^{2222}}{.4^{3333}} – {( – 4)^{2222}} = {( – 4)^{2222}}({4^{3333}} – 1) \equiv ({4^3}) – 1 \hfill \\ \end{gathered}\)(mod 7)  (1)

Ta lại có : \({4^3} \equiv 1\)(mod 7)\({4^3} – 1 = 63 \vdots 7 \Rightarrow {4^3} – 1 \equiv 0\) (mod 7)  (2)

Nên  \((-4)^{5555}+4^{2222}\equiv 0\) (mod 7)

Từ (1) và (2) =>\(2222^{5555}+5555^{2222}\) chia hết cho 7.