Biết phương trình:\({\log _5}\left( {\frac{{2\sqrt x + 1}}{x}} \right) = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} – \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\) có nghiệm duy nhất dạng \(x = a + b\sqrt c\)  Với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) . Mệnh đề nào sau đây đúng.

A. \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 18\)                                       B. \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 17\)

C. \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 28\)                                       D. \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 27\)

Giải:

B1: Nhập phương trình \({\log _5}\left( {\frac{{2\sqrt x + 1}}{x}} \right) = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} – \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\)  vào màn hình sau SOLVE nghiệp có nghiệm lưu vào ô nhớ A.

B2: Dự đoán vì nghiệm có dạng  \(x = a + b\sqrt c\) vì kết quả cho nghiệm là một số thập phân nên sẽ có chứa căn thức do đó đoán \(c \geqslant 2\) . Vậy ta thử c=2 sau đó thử dần lên các số nguyên tố khác.Vậy \(x = a + b\sqrt 2 \Leftrightarrow A = a + b\sqrt 2\)

B3: Dùng TABLE để dò nghiệm.

  • Chọn b là ẩn X để dò, tìm ra giá trị a là một số nguyên.
  • \(A = a + b\sqrt 2 \Rightarrow f(x) = A – X\sqrt 2 = a\)
  • Vậy \(X = 2 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = 3\) . Do đó ta được \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 17\) ,  chọn B.