Bài viết về phương trình Elip lần này sẽ bao gồm định nghĩa, phương trình chính tắc của Elip và một vài tính chất về đường Elip. Bên cạnh đó, bài viết sẽ trình bày một số bài toán cơ bản về vấn đề viết phương trình chính tắc của Elip cũng như vận dụng tính chất, phương trình Elip để giải quyết một số bài toán có liên quan.

Cơ sở lý thuyết

Định nghĩa

Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định \({{F}_{1}}\) và \({{F}_{2}}\). Elip là tập hợp các điểm \(M\) sao cho tổng \({{F}_{1}}M+{{F}_{2}}M=2a\) không đổi

Khi đó: Các điểm \({{F}_{1}}\)và \({{F}_{2}}\)   gọi là tiêu điểm của elip và khoảng cách  \({{F}_{1}}.{{F}_{2}}=2c\)  gọi là tiêu cự của elip

Phương trình chính tắc của Elip

Cho elip có tiêu điểm \({{F}_{1}}\) và \({{F}_{2}}\)  chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \({{F}_{1}}(-c;0)\)  và \({{F}_{2}}\left( c;0 \right)\). Khi đó phương trình chính tắc của elip là : \(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\text{  }(a>b>0)\), trong đó \({{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}\)

Tính chất

  1. Nếu điểm \(M\left( x;y \right)\) thuộc \(\left( E \right)\) thì các điểm \({{M}_{1}}\left( -x;y \right)\) \({{M}_{2}}\left( x;-y \right)\) và \({{M}_{3}}\left( -x;-y \right)\)  cũng thuộc \(\left( E \right)\).
  2.  \(\left( E \right)\) có các trục đối xứng là \(Ox\), \(Oy\) và có tâm đối xứng là gốc \(O\) .
  3. Thay \(y=0\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có \(x=\pm a\) suy ra \(\left( E \right)\)  cắt \(Ox\) tại hai điểm \({{A}_{1}}\left( -a;0 \right)\) ; \({{A}_{2}}\left( a;0 \right)\). Tương tự thay \(x=0\)  vào \(\left( 1 \right)\)  ta được \(y=\pm b\), vậy \(\left( E \right)\)  cắt \(Oy\)  tại hai điểm \({{B}_{1}}\left( 0;-b \right)\)và \({{B}_{2}}\left( 0;b \right)\)
  • Các điểm  \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{1}},{{B}_{2}}\)  gọi là các đỉnh của elip
  • Đoạn thẳng \({{A}_{1}}{{A}_{2}}\)  gọi là trục lớn, đoạn thẳng \({{B}_{1}}{{B}_{2}}\) gọi là trục nhỏ của elip

Một số bài toán ví dụ

Bài toán 1. Viết phương trình Elip có một tiêu điểm \({{F}_{1}}\left( 1;0 \right)\)và đi qua điểm \(M\left( 2;\dfrac{-2}{\sqrt{5}} \right)\)

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của Elip là: \(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\) với \(a>b>0\) và \({{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}\)

Do Elip có một tiêu điểm \({{F}_{1}}\left( 1;0 \right)\)và đi qua điểm \(M\left( 2;\dfrac{-2}{\sqrt{5}} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{aligned} & c=1 \\ & \dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{5{{b}^{2}}}=1 \\\end{aligned} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=1 \\ & 20{{b}^{2}}+4{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}{{b}^{2}} \\\end{aligned} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=1+{{b}^{2}} \\ & 20{{b}^{2}}+4\left( 1+{{b}^{2}} \right)=5\left( 1+{{b}^{2}} \right){{b}^{2}} \\\end{aligned} \right.\) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=1+{{b}^{2}} \\ & 5{{b}^{4}}-19{{b}^{2}}-4=0 \\\end{aligned} \right.\\$

Giải phương trình \(5{{b}^{4}}-19{{b}^{2}}-4=0\) ta có \({{b}^{2}}=4\) và \({{b}^{2}}=\dfrac{-1}{5}\) (loại)

Suy ra \({{a}^{2}}=1+{{b}^{2}}=5\)

Vậy phương trình Elip cần tìm là: \(\dfrac{{{x}^{2}}}{5}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1\)

Bài toán 2. Cho một Elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\dfrac{{{x}^{2}}}{196}+\dfrac{{{y}^{2}}}{36}=1\) và hình vuông \(\left( H \right)\) có các cạnh đều  tiếp xúc với \(\left( E \right)\). Tính diện tích hình \(\left( H \right)\)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(d:ax+by+c=0\) tiếp xúc với Elip \(\dfrac{{{x}^{2}}}{196}+\dfrac{{{y}^{2}}}{36}=1\) khi và chỉ khi hệ phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{{{x}^{2}}}{196}+\dfrac{{{y}^{2}}}{36}=1 \\ & ax+by+c=0 \\\end{aligned} \right.\) có một nghiệm duy nhất.

Tương đương với \(\left\{ \begin{aligned}  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\ & 14ax+6by+c=0 \\\end{aligned} \right.\) có nghiệm duy nhất

Suy ra đường thẳng \(\Delta :\) \(14ax+6by+c=0\) tiếp xúc với đường tròn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)

Ta có \(d\left( 0;\Delta  \right)=1\)\(\Leftrightarrow \dfrac{\left| c \right|}{\sqrt{196{{a}^{2}}+36{{b}^{2}}}}=1\) \(\Leftrightarrow 196{{a}^{2}}+36{{b}^{2}}={{c}^{2}}\) : đây là điều kiện tiếp xúc của \(d\) và \(\left( E \right)\)

Giả sử 4 cạnh của hình vuông là

\({{d}_{1}}:ax+by+{{c}_{1}}=0\) ; \({{d}_{2}}:ax+by+{{c}_{2}}=0\) ; \({{d}_{3}}:-bx+ay+{{c}_{3}}=0\) và ${{d}_{4}}:-bx+ay+{{c}_{4}}=0\\$

Theo điều kiện tiếp xúc ta có:

\(\left\{ \begin{aligned} & c_{1}^{2}=c_{2}^{2}=196{{a}^{2}}+36{{b}^{2}} \\ & c_{3}^{2}=c_{4}^{2}=36{{a}^{2}}+196{{b}^{2}} \\\end{aligned} \right.\) suy ra $\left\{ \begin{aligned} & {{c}_{1}}=-{{c}_{2}} \\& {{c}_{3}}=-{{c}_{4}} \\\end{aligned} \right.\\$

Do \(\left( H \right)\) là hình vuông nên ta có: \(d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=d\left( {{d}_{3}},{{d}_{4}} \right)\) \(\Rightarrow \left| {{c}_{1}} \right|=\left| {{c}_{3}} \right|\) \(\Rightarrow {{a}^{2}}={{b}^{2}}\)

Như vậy ta có: \(c_{1}^{2}=c_{2}^{2}=c_{3}^{2}=c_{4}^{2}=232{{a}^{2}}\)

Diện tích hình vuông \(\left( H \right)\) là \(S={{\left( d\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right) \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{\left| 2{{c}_{1}} \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right)}^{2}}=\dfrac{4.232{{a}^{2}}}{2.{{a}^{2}}}=464\)(đvdt).


Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP . Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về bài viết cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO