Hệ thức lượng trong tam giác là nội dung quan trọng trong chương trình Trung học phổ thông. Tiếp nối bài viết Một số bài toán cơ bản về hệ thức lượng trong tam giác, bài viết này sẽ giới thiệu một vài bài toán chứng minh tam giác vuông bằng phương pháp biến đổi hệ thức lượng

Bài toán 1: Chứng minh \(\Delta ABC\) thõa điều kiện \(\sin 2A+\sin 2B-4sinAsinB=0\) là tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\sin 2A+\sin 2B-4\sin A\sin B=0\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow 2\sin \left( A+B \right)\cos \left( A-B \right)-2\left[ \cos \left( A-B \right)-\cos \left( A+B \right) \right]=0 \\ & \Leftrightarrow 2\sin \left( \pi -C \right)\cos \left( A-B \right)-2\left[ \cos \left( A-B \right)-\cos \left( \pi -C \right) \right]=0 \\ & \Leftrightarrow \sin \left( C \right)\cos \left( A-B \right)-\cos \left( A-B \right)+\cos \left( C \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \cos \left( A-B \right)\left[ \sin \left( C \right)-1 \right]+\cos \left( C \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \cos \left( C \right)\cos \left( A-B \right)\left[ \sin \left( C \right)-1 \right]+{{\cos }^{2}}\left( C \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \cos \left( C \right)\cos \left( A-B \right)\left[ \sin \left( C \right)-1 \right]+\left[ 1-{{\sin }^{2}}\left( C \right) \right]=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \sin \left( C \right)-1 \right]\left[ \cos \left( C \right)\cos \left( A-B \right)-1-\sin \left( C \right) \right]=0 \\ & \Rightarrow \sin \left( C \right)=1 \\ & \Rightarrow \hat{C}=\dfrac{\pi }{2} \\\end{align}\)

Vậy \(\Delta ABC\) vuông tại C

Bài toán 2Chứng minh \(\Delta ABC\) thõa điều kiện \({{r}_{c}}=3r\) và \(5r=2R\) là tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

\({{r}_{c}}=3r \)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow \dfrac{S}{p-c}=3\dfrac{S}{p} \\ & \Leftrightarrow p=3\left( p-c \right) \\ & \Leftrightarrow 3c=2p \\ & \Leftrightarrow 3c=a+b+c \\ & \Leftrightarrow a+b=2c \\ \end{align}\)

Áp dụng công thức: \(S=\dfrac{abc}{4R}\Rightarrow R=\dfrac{abc}{4S}\) ta được:

\(5r=2R \)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow 5r=2R \\ & \Leftrightarrow 5\dfrac{S}{p}=\dfrac{abc}{2S} \\ & \Leftrightarrow 10{{S}^{2}}=pabc \\ \end{align}\)

Thay công thức Heron: \(S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}\) và \(a+b=2c\) vào biểu thức trên ta được

\(10p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)=pabc\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow 10\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)=abc \\ & \Leftrightarrow 10\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( \dfrac{a+b-c}{2} \right)=abc \\ & \Leftrightarrow 5\left( p-a \right)\left( p-b \right)c=abc \\ & \Leftrightarrow 5\left( p-a \right)\left( p-b \right)=ab \\ & \Leftrightarrow 5{{p}^{2}}-5p\left( a+b \right)+4ab=0 \\ & \Leftrightarrow 5{{\left( \dfrac{a+b+c}{2} \right)}^{2}}-5\left( \dfrac{a+b+c}{2} \right)\left( a+b \right)+4ab=0 \\ & \Leftrightarrow 5{{\left( \dfrac{3c}{2} \right)}^{2}}-5\left( \dfrac{3c}{2} \right)2c+4ab=0 \\& \Leftrightarrow ab=\dfrac{15}{16}{{c}^{2}} \\ \end{align}\)

Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align} & a+b=2c \\ & ab=\dfrac{15}{16}{{c}^{2}} \\ \end{align} \right.\)

Theo định lý Viète (Vi-et) thì \(a\) và \(b\) là nghiệm của phương tình bậc 2:

\({{x}^{2}}-2cx+\dfrac{15}{16}{{c}^{2}}=0\)

Giải phương trình sau ta có: \(\left[ \begin{align} & x=\dfrac{3}{4}c \\ & x=\dfrac{5}{4}c \\ \end{align} \right.\)

Như vậy ta có: \({{\left( \dfrac{3}{4}c \right)}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( \dfrac{5}{4}c \right)}^{2}}\) .

Vậy \(\Delta ABC\) vuông tại A hoặc B


Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết BIẾN ĐỔI CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG ĐỂ CHỨNG MINH TAM GIÁC VUÔNG. Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về bài viết cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO.