Hệ thức lượng trong tam giác là nội dung quan trọng trong chương trình Trung học phổ thông. Tiếp nối bài viết Một số bài toán cơ bản về hệ thức lượng trong tam giác và Biến đổi công thức hệ thức lượng để chứng minh tam giác vuông bài viết này sẽ giới thiệu về bài toán chứng minh tam giác vuông bằng phương pháp biến đổi hệ thức lượng

Bài toán : Cho \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Chứng minh rằng  nếu \(AB+GC=AC+GB\) thì \(\Delta ABC\) là tam giác cân.

Nhận xét: Quan sát giả thiết bài toán ta thấy vai trò của \(B\) và \(C\) như nhau nên ta dự đoán \(\Delta ABC\) cân tại \(A\). Do đó ta cần chứng minh \(AB=AC\)     

Hướng dẫn giải:

Do \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên ta có:

\(GA=\dfrac{2}{3}AD\) ; \(GB=\dfrac{2}{3}BE\); \(GC=\dfrac{2}{3}CF\)

Áp dụng định lý đường trung tuyến trong \(\Delta ABC\) ta có:

\(BE=\dfrac{\sqrt{2\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}}}}{2}\Rightarrow GB=\dfrac{\sqrt{2\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}}}}{3}\)

Tương tự ta có:

\(GC=\dfrac{\sqrt{2\left( A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{B}^{2}}}}{3}\)

Ta có:

\(AB+GC=AC+GB\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow AB+\dfrac{\sqrt{2\left( A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{B}^{2}}}}{3}=AC+\dfrac{\sqrt{2\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}}}}{3} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{2\left( A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{B}^{2}}}-\sqrt{2\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}}}=3\left( AC-AB \right) \\ & \Leftrightarrow \dfrac{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}{\sqrt{2A{{C}^{2}}+2B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}+\sqrt{2A{{B}^{2}}+2B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}}=AC-AB \\\end{align}\)

Giả sử: \(AB<AC\)

Do \(BC>AC-AB\) nên ta có

\(\sqrt{2A{{C}^{2}}+2B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}+\sqrt{2A{{B}^{2}}+2B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}\)

\(\begin{align} & >\sqrt{2A{{C}^{2}}+2{{\left( AC-AB \right)}^{2}}-A{{B}^{2}}}+\sqrt{2A{{B}^{2}}+2{{\left( AC-AB \right)}^{2}}-A{{C}^{2}}} \\ & =\sqrt{4A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-4AB.AC}+\sqrt{4A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-4AB.AC} \\ & =\sqrt{{{\left( 2AC-AB \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 2AB-AC \right)}^{2}}} \\ & =2AC-AB+\left| 2AB-AC \right| \\\end{align}\)

Suy ra:

\(\dfrac{AC+AB}{\left| 2AB-AC \right|+2AC-AB}>1\)  (1)

Giả sử \(AC<2AB\) thì

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{AC+AB}{2AB-AC+2AC-AB}>1\)

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 1>1\) (vô lý)

Giả sử \(AC\ge 2AB\)thì

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{AC+AB}{AC-2AB+2AC-AB}>1\)

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow AC+AB>AC-3AB\)

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2AB>AC\) (Vô lý)

Như vậy \(AB<AC\) là không thể xảy ra

Tương tự không thể xảy ra trường hợp \(AC<AB\)

Suy ra \(AB=AC\).

Vậy \(\Delta ABC\) cân tại\(A\)


Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết BIẾN ĐỔI CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG ĐỂ CHỨNG MINH TAM GIÁC CÂN. Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về bài viết cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO.