Đề bài: Giải bất phương trình

\({x^2} + 4\sqrt {x + 2} \le x + 2\left( {1 + \sqrt {{x^2} + 3} } \right)\)

Điều kiện: \(x \geq -2\).

Phân tích hướng giải:

Đặt ẩn phụ:

\(\begin{array}{l} u = \sqrt {x + 2} ;v = \sqrt {{x^2} + 3} \\ \Rightarrow x = {u^2} – 2;{x^2} = {v^2} – 3 \end{array}\)

Bất phương trình đã cho trở thành

\({v^2} – 3 + 4u \le {u^2} + 2v(*)\)

Bằng máy tính giải phương trình hai biến bằng phím SOLVE, ta được:

Vậy (*) được phân tích lại:

\(\begin{array}{l} {v^2} – 3 + 4u \le {u^2} + 2v\\ \Leftrightarrow \left( {u + v – 3} \right)\left( {v – u + 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {{x^2} + 3} – 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} – \sqrt {x + 2} + 1} \right) \le 0 \end{array}\)

Bấm máy tìm nghiệm của phương trình \(\sqrt {x + 2} + \sqrt {{x^2} + 3} – 3 = 0\) và \(\sqrt {{x^2} + 3} – \sqrt {x + 2} + 1 = 0\)

+ \(\sqrt {{x^2} + 3} – \sqrt {x + 2} + 1 = \dfrac{{{x^2} – x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 3} + \sqrt {x + 2} }} + 1 > 0\)

Do đó bất đẳng thức ban đầu tương đương với: