Câu phương trình Chuyên Đại học Vinh năm 2016 Lần 2
 
$${2^{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = {4^x}{\log _2}\left( {3x} \right)$$
Điều kiện: $x >0$.
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với:
$${2^{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = {2^{3x}}{\log _2}\left( {3x} \right)\,\,\,\,(1)$$
 
Nhận thấy $f(u)=f(v)$ với $u = x + \sqrt {{x^2} + 1} ;v = 3x$ và hàm đặc trưng $f(t)=2^t+\log_2{t}$.
Tuy nhiên miền xác định của $u$ là $D_u=\left( {1; + \infty } \right)$ còn $D_v=\left( {1; + \infty } \right)$
Hai miền xác định này không trùng nhau, hơn nữa $3x > 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{3}$ nên xét hai trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: $0<x\leq \dfrac{1}{3}$. Khi đó $${2^{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)>0$$, $${2^{3x}}{\log _2}\left( {3x} \right)<0$$
 
Vậy với $x$ thuộc miền này thì phương trình vô nghiệm.
+ Trường hợp 2: $x>\dfrac{1}{3}$, lúc này $D_u$ trùng $D_v$ nên xét hàm $f(t)=2^t+\log_2{t}$ có:
$$f'(t) = {2^t}\ln 2{\log _2}t + {2^t}.\dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0{\rm{  }}\forall t \in (1; + \infty )$$
Suy ra (1) tương đương với $x + \sqrt {{x^2} + 1}  = 3x \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$