Bài 1: Cho đa thức \(P\left ( x \right )\) có bậc 7, hệ số bậc 7 là 5 thỏa:

\(P\left ( 1 \right )=2013;P\left ( 2 \right )=4704; P\left ( 3 \right )=8749; P\left ( 4 \right )14154; P\left ( 5 \right )=61845\)

Và \(P\left ( x \right )\) chia hết cho \(x^{2}+x+1\).

a. Tính \(P\left ( 2015 \right )\)

b. Tìm các hệ số của \(P\left ( x \right )\)

Bài giải:

Gọi đa thức \(P\left ( x \right )\) cần tìm là

\(P\left ( x \right )=\left ( x^{2} +x+1\right )\left ( 5x^{5}+Ax^{4} +Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E\right )\)

Tính giá trị tại \(x=1;x=2;x=3;x=4;x=5\)

 

\(x=1:A+B+C+D+E=666\)

 

\(x=2:16A+8B+4C+2D+E=512\)

 

\(x=3:81A+27B+9C+3D+E=-542\)

 

\(x=4:256A+64B+16C+6D+E=-4446\)

 

\(x=5:625A+125B+25C+5D+E=-13630\)

 

Giải hệ phương trình trên ta được:

\(P\left ( x \right )=\left ( x^{2}+x+1 \right )\left ( 5x^{5}-20x^{4}-125x^{3}+800x^{2}-1379x+1390 \right )\)

Nhân phân phối ta được:

\(P\left ( x \right )=5x^{7}-15x^{6}-140x^{5}+655x^{4}-704x^{3}+811x^{2}+11x+1390\)

 

Bài 2: Cho đa thức \(P\left ( x \right )\) có bậc 7, hệ số bậc 7 là 5 thỏa:

\(P\left ( 1 \right )=2013;P\left ( 2 \right )=4704; P\left ( 3 \right )=8749; P\left ( 4 \right )14154; P\left ( 5 \right )=20925\)

Và \(P\left ( x \right )\) chia hết cho \(x^{2}+x+1\).

a. Tính \(P\left ( 2015 \right )\)

b. Tìm các hệ số của \(P\left ( x \right )\)

Bài giải:

Gọi đa thức \(P\left ( x \right )\) cần tìm là

\(P\left ( x \right )=\left ( x^{2} +x+1\right )\left ( 5x^{5}+Ax^{4} +Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E\right )\)

Tính giá trị tại \(x=1;x=2;x=3;x=4;x=5\)

 

\(x=1:A+B+C+D+E=666\)

 

\(x=2:16A+8B+4C+2D+E=512\)

 

\(x=3:81A+27B+9C+3D+E=-542\)

 

\(x=4:256A+64B+16C+6D+E=-4446\)

 

\(x=5:625A+125B+25C+5D+E=-14950\)

 

Giải hệ phương trình trên ta được:

\(P\left ( x \right )=\left ( x^{2}+x+1 \right )\left ( 5x^{5}-75x^{4}+425x^{3}-1125x^{2}-1371x+70 \right )\)

Nhân phân phối ta được:

\(P\left ( x \right )=5x^{7}-70x^{6}+355x^{5}-755x^{4}+671x^{3}+1441x^{2}+11x+70\)