Câu 37. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb R\backslash\{\dfrac12\}$ thỏa mãn $f'(x)=\dfrac2{2x-1}$, $f(0)=1$ và $f(1)=2$. Giá trị của biểu thức $f(-1)+f(3)$ bằng

A. $4+\ln15$.

B. $2+\ln15$

C. $3+\ln15$.

D. $\ln15$.

Lời giải

 

Ta có : $f\left( x \right)=\int{{f}’\left( x \right)\text{d}x}=2\int{\dfrac{1}{2x-1}\text{d}x}=\dfrac{2}{2}\ln \left| 2x-1 \right|+C=\ln \left| 2x-1 \right|+C.$

Ta có: $f\left( -1 \right)-f\left( 0 \right)=\int\limits_{0}^{-1}{{f}’\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{-1}{\dfrac{2}{2x-1}\text{d}x}=\left. \ln \left| 2x-1 \right| \right|_{0}^{-1}=\ln 3.$

$f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)=\int\limits_{1}^{3}{{f}’\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{2}{2x-1}\text{d}x}=\left. \ln \left| 2x-1 \right| \right|_{1}^{3}=\ln 5.$

Vậy $f\left( -1 \right)-f\left( 0 \right)+f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)=\ln 3+\ln 5\Leftrightarrow f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)=\ln 3+\ln 5+3\Leftrightarrow f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)=\ln 15+3$

Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS:

Nhập vào máy tính: $\int\limits_{0}^{-1}{\dfrac{2}{2x-1}\text{d}x}+\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{2}{2x-1}\text{d}x}+1+2$, thu được:

So sánh đáp án, chọn C.

Mẹo: Để ý phép toán cần thực hiện là $f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)$ nên $x=-1;x=3$ đều phải đóng vai trò là cận trên hoặc cận dưới của tích phân.