Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

\(\left\{\begin{matrix} x^{3}-3x^{2}-9x+22=y^{3}+3y^{2}-9y & & \\ x^{2}+y^{2}-x+y=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính cho \(y=1000\) máy cho kết quả \(x=1002\)

Suy ra \(x=y+2\Leftrightarrow x-1=y+1\)

Viết phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

\(\left ( x-1 \right )^{3}-12\left ( x-1 \right )=\left ( y+1 \right )^{3}-12\left ( y+1 \right )\)

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có \(\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{2} \right )^{2}=1\)

Do đó

\(\left | x-\frac{1}{2} \right |, \left | y+\frac{1}{2} \right |\leqslant 1\)

Suy ra \(-\frac{3}{2}\leqslant x-1,y+1\leqslant \frac{3}{2}\)

Xét hàm số \(f\left ( t \right )=t^{3}-12t\) trên đoạn \(\left [ -\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right ]\)

Tính đạo hàm \(f’\left ( t \right )=3t^{2}-12<0\left ( \forall t\in \left [ -\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right ] \right )\)

Hàm số \(f\left ( t \right )\) nghịch biến trên đoạn \(\left [ -\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right ]\)

Từ đó \(f\left ( x-1 \right )=f\left ( y+1 \right )\Rightarrow x-1=y+1\Leftrightarrow y=x-2\)

Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình:

\(4x^{2}-8x+3=0\Leftrightarrow \left ( 2x-1 \right )\left ( 2x-3 \right )=0\)

Từ đây tìm được nghiệm của hệ đã cho là \(\left ( x; y \right )=\left \{ \left ( \frac{1}{2} ;-\frac{3}{2}\right ),\left ( \frac{3}{2};-\frac{1}{2} \right ) \right \}\)