Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}+x\left ( x+y \right )=\sqrt{2y}+2y^{2} & & \\ \sqrt{x^{2}+4y-3}+1=\sqrt{3x-2}+y & & \end{matrix}\right.\)

Bài giải: Điều kiện \(x+y, y, x^{2}+4y-3,3x-2\geqslant 0\)

Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính, gán giá trị \(y=1000\) máy cho kết quả \(x=1000\)

Ta tách phương trình thứ nhất của hệ về dạng tích chứa nhân tử \(\left ( x-y \right )\)

Viết phương trình thứ nhất của hệ về dạng sau:

\(\left ( x-y \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x+y}+\sqrt{2y}} +2y+x\right )=0\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình:

\(\sqrt{x^{2}+4x-3}+1=\sqrt{3x-2}+x\)

Nhập phương trình vào máy tính, gán giá trị \(X=1000\) máy cho kết quả \(x=2\)

Để ý rằng với \(x=2\) thì \(\sqrt{3x-2}=x-1\)

Tách phương trình trên về dạng:

\(\sqrt{2\left ( 3x-2 \right )+\left ( x-1 \right )^{2}}=\sqrt{3x-2}+x-1\)

Đặt \(a=\sqrt{3x-2},b=x-1\)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là \(a+b\geqslant 0\)

Bình phương hai vế thu được phương trình \(a\left ( a-2b \right )=0\Leftrightarrow a=0\vee a=2b\)

Với \(a=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}\Rightarrow v=-\frac{1}{3}\) không thỏa mãn điều kiện \(a+b\geqslant 0\)

Với \(a=2b\Rightarrow x=2\). Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(x=y=2\)