Tiếp nối 2 bài viết về Dãy số truy hồiSố hạng tổng quát của dãy số, Diễn đàn máy tính cầm tay tiếp tục chuyên đề dãy số với bài viết về bài toán cấp số cộng. Trong bài viết này chúng tôi chia thành 2 phần, Phần 1 là tóm tắt các lý thuyết cơ bản về bài toán cấp số cộng và Phần 2 là giải quyết một số bài toán Cấp số cộng dưới sự hỗ trợ của Casio fx 580vnx.

Phần 1. Tóm tắt lý thuyết:

Cho\(\left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy cấp số cộng công sai \(d\).  Khi đó ta có:

  • \(\forall n\ge 2\), \({{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+d\). Suy ra  \({{u}_{n-1}}+{{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}\)
  • Số hạng tổng quát: \({{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d\)
  • Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên: \({{S}_{n}}=\dfrac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}\)\(=\dfrac{\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]n}{2}\)

Phần 2. Dưới đây là một số bài toán minh họa:

Bài toán 1. Tìm \(x\) để ba số (theo thứ tự) \(3-3x\) ; \({{x}^{2}}-x\) và \({{x}^{2}}+3\) lập thành một cấp số cộng

  1. \(x=2,x=3\)
  2. \(x=-3,x=2\)
  3. \(x=-3,x=-2\)
  4. \(x=3;x=-2\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất \({{u}_{n-1}}+{{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}\) ta có: \(\left( 3-3x \right)+\left( {{x}^{2}}+3 \right)=2\left( {{x}^{2}}-x \right)\)\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6=0\)

Sử dụng Casio fx 580 VNX giải phương trình trên

Chọn đáp án B

Bài toán 2. Tìm số hạng \({{u}_{1}}\) và công sai \(d\) của dãy cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa \(\left\{ \begin{align} & {{u}_{2}}+2{{u}_{4}}-{{u}_{6}}=6 \\ & {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=-2 \\ \end{align} \right.\)

  1. \({{u}_{1}}=5;d=2\)
  2. \({{u}_{1}}=-5;d=2\)
  3. \({{u}_{1}}=5;d=-2\)
  4. \({{u}_{1}}=-5;d=-2\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\left\{ \begin{align} & {{u}_{2}}+2{{u}_{4}}-{{u}_{6}}=6 \\ & {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=-2 \\\end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \left( {{u}_{1}}+d \right)+2\left( {{u}_{1}}+3d \right)-\left( {{u}_{1}}+5d \right)=6 \\ & \left( {{u}_{1}}+2d \right)+\left( {{u}_{1}}+4d \right)=-2 \\\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2{{u}_{1}}+2d=6 \\ & 2{{u}_{1}}+6d=-2 \\\end{align} \right.\)

Sử dụng Casio fx 580vnx để giải hệ phương trình trên

Chọn đáp án C

Bài toán 3. Tìm số hạng \({{u}_{1}}\) và công sai \(d\) của dãy cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa \(\left\{ \begin{align} & {{u}_{6}}-{{u}_{3}}+{{u}_{2}}=11 \\ & {{u}_{3}}{{u}_{5}}=77 \\\end{align} \right.\)

  1. \({{u}_{1}}=3;d=2\)
  2. \({{u}_{1}}=4;d=-1\)
  3. \({{u}_{1}}=-1;d=-2\)
  4. \({{u}_{1}}=1;d=3\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{u}_{6}}-{{u}_{3}}+{{u}_{2}}=11 \\ & {{u}_{3}}{{u}_{5}}=77 \\\end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left( {{u}_{1}}+5d \right)-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+\left( {{u}_{1}}+d \right)=11 \\ & \left( {{u}_{1}}+2d \right)\left( {{u}_{1}}+4d \right)=77 \\\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+4d=11 \\ & \left( {{u}_{1}}+2d \right)\left( {{u}_{1}}+4d \right)=77 \\\end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+4d=11 \\& {{u}_{1}}+2d=7 \\\end{align} \right.\)

Sử dụng máy tính Casio để giả hệ phương trình trên

Chọn đáp án A

Bài toán 4. Cho một cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1\) và tổng \(100\) số hạng đầu bằng \(24850\). Tính \(S=\dfrac{1}{{{u}_{1}}{{u}_{2}}}+\dfrac{1}{{{u}_{2}}{{u}_{3}}}+…+\dfrac{1}{{{u}_{49}}{{u}_{50}}}\)

  1. \(S=123\)
  2. \(S=\dfrac{4}{23}\)
  3. \(S=\dfrac{49}{246}\)
  4. \(S=\dfrac{9}{246}\)

Hướng dẫn giải

Ta có \({{S}_{100}}=24850\) suy ra \(\dfrac{100\left( 2{{u}_{1}}+99d \right)}{2}=24850\)

Sử dụng lệnh SOLVE để tìm \(d\)

Suy ra công sai \(d={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=…={{u}_{50}}-{{u}_{49}}=5\)

Ta có: $S=\dfrac{1}{{{u}_{1}}{{u}_{2}}}+\dfrac{1}{{{u}_{2}}{{u}_{3}}}+…+\dfrac{1}{{{u}_{49}}{{u}_{50}}}\\$

$\Rightarrow 5S=\dfrac{5}{{{u}_{1}}{{u}_{2}}}+\dfrac{5}{{{u}_{2}}{{u}_{3}}}+…+\dfrac{5}{{{u}_{49}}{{u}_{50}}}\\$

$=\dfrac{{{u}_{2}}-{{u}_{1}}}{{{u}_{1}}{{u}_{2}}}+\dfrac{{{u}_{3}}-{{u}_{2}}}{{{u}_{2}}{{u}_{3}}}+…+\dfrac{{{u}_{50}}-{{u}_{49}}}{{{u}_{49}}{{u}_{50}}}\\$

$=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}-\dfrac{1}{{{u}_{2}}}+\dfrac{1}{{{u}_{2}}}-\dfrac{1}{{{u}_{3}}}+…+\dfrac{1}{{{u}_{49}}}-\dfrac{1}{{{u}_{50}}}\\$

$=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}-\dfrac{1}{{{u}_{50}}}\\$

$=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}-\dfrac{1}{{{u}_{1}}+49d}=\dfrac{245}{246}\\$

$\Rightarrow S=\dfrac{49}{246}\\$

Bài toán 5. Xác định \(m\) để phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m=0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng

  1. \(m=16\)
  2. \(m=13\)
  3. \(m=12\)
  4. \(m=11\)

Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán cấp số cộng trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án bằng cách thay các giá trị của \(m\) vào phương trình ,sau đó giải và kiểm tra các nghiệm.


Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết  GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN CẤP SỐ CỘNG DƯỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA CASIO fx- 580 VNX. Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về bài viết cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO.