Tiếp nối các bài viết về chuyên đề Dãy số, Diễn đàn máy tính cầm tay tiếp tục chuyên đề dãy số với bài viết về bài toán Cấp số nhân. Trong bài viết này chúng tôi chia thành 2 phần, Phần 1 là tóm tắt các lý thuyết cơ bản về cấp số nhân và Phần 2 là giải quyết một số bài toán Cấp số nhân dưới sự hỗ trợ của Casio fx 580vnx.

Phần 1. Tóm tắt lý thuyết

Cho \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là cấp số nhân công bội \(q\). Khi đó ta có:

Định nghĩa: \({{u}_{n}}=q.{{u}_{n-1}}\). Suy ra \(u_{n}^{2}={{u}_{n-1}}.{{u}_{n+1}}\)

Số hạng tổng quát: \({{u}_{n}}={{q}^{n-1}}{{u}_{1}}\)

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên: \({{S}_{n}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}\)

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: \(S={{u}_{1}}+q{{u}_{1}}+{{q}^{2}}{{u}_{1}}+…=\dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}\)

Phần 2. Một số bài toán minh họa

Bài toán 1. Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có các số hạng khác \(0\). Tìm \({{u}_{1}}\) biết \(\left\{ \begin{align}  & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\ \end{align} \right.\)

  1. \({{u}_{1}}=\dfrac{1}{11};{{u}_{1}}=\dfrac{81}{11}\)
  2. \({{u}_{1}}=\dfrac{1}{13};{{u}_{1}}=\dfrac{81}{13}\)
  3. \({{u}_{1}}=\dfrac{1}{12};{{u}_{1}}=\dfrac{81}{12}\)
  4. \({{u}_{1}}=\dfrac{2}{11};{{u}_{1}}=\dfrac{81}{11}\)

Hướng dẫn giải.

Ta có: $ \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\\end{align} \right.\\$$ \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=11-\dfrac{82}{11}=\dfrac{39}{11} \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\\end{align} \right.\\$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{align} & q{{u}_{1}}+{{q}^{2}}{{u}_{1}}+{{q}^{3}}{{u}_{1}}=\dfrac{39}{11} \\ & {{u}_{1}}+{{q}^{4}}{{u}_{1}}=\dfrac{82}{11} \\\end{align} \right.\\$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{align} & \left( q+{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right){{u}_{1}}=\dfrac{39}{11} \\ & \left( 1+{{q}^{4}} \right){{u}_{1}}=\dfrac{82}{11} \\\end{align} \right.\\$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{align} & \dfrac{q+{{q}^{2}}+{{q}^{3}}}{1+{{q}^{4}}}=\dfrac{39}{82} \\ & {{u}_{1}}=\dfrac{82}{11\left( 1+{{q}^{4}} \right)} \\\end{align} \right.\\$

Sử dụng tính năng  SOLVE Casio fx 580vnx để giải tìm \(q\) cho phương trình 1

Nhập vào máy tính biểu thức \(\dfrac{82}{11\left( 1+{{x}^{4}} \right)}\)

 

 Sử dụng lệnh r để tìm \({{u}_{1}}\) ứng với \(q=\dfrac{1}{3}\) và \(q=3\)

 

Chọn đáp án A

Bài toán 2. Một dãy cấp số nhân gồm 5 số hạng với số hạng cuối cùng \({{u}_{5}}=162\) và tổng 5 số hạng đó bằng \({{S}_{5}}=242\). Tìm số hạng đầu tiên \({{u}_{1}}\) và công bội \(q\)

  1. \({{u}_{1}}=-2,q=-3\)
  2. \({{u}_{1}}=-2;q=3\)
  3. \({{u}_{1}}=2;q=-3\)
  4. \({{u}_{1}}=2;q=3\)

 Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{align} & {{u}_{5}}={{q}^{4}}{{u}_{1}}=162 \\ & {{S}_{5}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{5}} \right)}{1-q}=242 \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{u}_{1}}=\dfrac{162}{{{q}^{4}}}\left( * \right) \\ & \dfrac{{{q}^{4}}\left( 1-q \right)}{1-{{q}^{5}}}=\dfrac{162}{242}\left( ** \right) \\\end{align} \right.\)

Sử dụng tính năng SOLVE để tìm nghiệm \(q\) của phương trình \(\left( ** \right)\)

Như vậy ta tìm được công bội \(q=3\). Suy ra \({{u}_{1}}=\dfrac{162}{{{q}^{4}}}=2\)

Đáp án D

Bài toán 3. Xác định giá trị của \(x\in \mathbb{R}\) để 3 số hạng \(1\); \({{x}^{2}}\)  và \(6-{{x}^{2}}\) lập thành một cấp số nhân

  1. \(\pm 1\)
  2. \(\pm \sqrt{2}\)
  3. \(\pm \sqrt{3}\)
  4. \(\pm 2\)

Hướng dẫn giải

\(1\); \({{x}^{2}}\)  và \(6-{{x}^{2}}\) lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi \({{x}^{4}}=6-{{x}^{2}}\) \(\Leftrightarrow {{x}^{4}}+{{x}^{2}}-6=0\)

Sử dụng máy tính Casio fx 580 vnx để giải phương trình bậc 4 trên

Do \(x\in \mathbb{R}\) nên ta có \(x=\pm \sqrt{2}\)

Đáp án B

Bài toán 4. Cho bốn số nguyên dương với ba số đầu lập thành bài toán cấp số cộng, ba số sau lập thành bài toán cấp số nhân. Tổng hai số hạng đầu và cuối bằng \(37\) và tổng hai số hạng giữa là \(36\). Tìm tích của bốn số đó

  1. \(90000\)
  2. \(96000\)
  3. \(112500\)
  4. \(144000\)

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{3}}=2{{u}_{2}} \\ & {{u}_{2}}{{u}_{4}}=u_{3}^{2} \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{4}}=37 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{3}}=36 \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{3}}=2{{u}_{2}}-{{u}_{1}} \\ & u_{3}^{2}={{u}_{2}}{{u}_{4}} \\ & {{u}_{4}}=37-{{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}}=36-{{u}_{3}} \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{3}}=24-\dfrac{{{u}_{1}}}{3} \\ & {{\left( 24-\dfrac{{{u}_{1}}}{3} \right)}^{2}}=\left( 12+\dfrac{{{u}_{1}}}{3} \right)\left( 37-{{u}_{1}} \right) \\ & {{u}_{4}}=37-{{u}_{1}} \\ & {{u}_{2}}=12+\dfrac{{{u}_{1}}}{3} \\\end{align} \right.\)

Sử dụng tính năng SOLVE để giải phương trình \({{\left( 24-\dfrac{{{u}_{1}}}{3} \right)}^{2}}=\left( 12+\dfrac{{{u}_{1}}}{3} \right)\left( 37-{{u}_{1}} \right)\)

Thay \({{u}_{1}}=12\) vào các phương trình của hệ ta tìm được \({{u}_{2}}=16\) ; \({{u}_{3}}=20\) và \({{u}_{4}}=25\)

Như vậy \({{u}_{1}}{{u}_{2}}{{u}_{3}}{{u}_{4}}=96000\)

Đáp án B


Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết  GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN CẤP SỐ NHÂN DƯỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA CASIO fx 580VNX. Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về bài viết cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO