Đề bài: Tìm dư khi chia

A=1^{2015}+2^{2015}+...+2015^{2015} cho 11.

(Trả lời cho thành viên quanghieu trên Facebook Diễn đàn)

Bài giải:

Ta chia thành các nhóm sau để tìm dư:

+Nhóm 1: Các số từ 1 tới 11, nhưng vì 11^{2015}\vdots 11 nên thực chất ta chỉ xét từ 1 tới 10.

+Nhóm 2: Các số từ 12 tới 22, và cũng tương tự ta chỉ xét tới 21.

Số nhóm cần tách là 2015Qa11= = 183 nhóm.

Mặt khác ta có công thức sau: \left ( a+b \right )^{n}\equiv b^{n}\left ( moda \right )\left ( a>0 \right )

Ta đi tính dư:

Vậy

A=1^{2015}+2^{2015}+...+2015^{2015}

\Leftrightarrow A\equiv \left ( 1\times 5 \right+10\times 5 ).\frac{2013}{11}+2014^{2015}+2015^{2015}

\Leftrightarrow A\equiv 55\times 183+1+10

\Leftrightarrow A\equiv 0(mod11)