Hệ thức lượng trong tam giác là nội dung quan trọng trong chương trình Trung học phổ thông. Đây là một chuyên đề hay và tương đối khó. Bài viết này sẽ giới thiệu một vài bài tập giúp rèn luyện khả năng ứng dụng các công thức vào bài tập cụ thể:

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB, AC và BC lần lượt là \(2\left( cm \right);3\left( cm \right)\) và \(4\left( cm \right)\). Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Tính \(R,r\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp \(\Delta BCD\)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức đường trung tuyến vào \(\Delta ABC\) ta có:

\(C{{D}^{2}}=\dfrac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}\)

\(\Rightarrow CD=\sqrt{\dfrac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{46}}{2}\)

Sử dụng Casio fx 580vnx tính phép toán trên và lưu vào A

Áp dụng định lý hàm cosin trong vào \(\Delta ABC\) ta có

\(\cos \left( \widehat{B} \right)=\dfrac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2.AB.BC}=\dfrac{11}{16}\Rightarrow \sin \left( \widehat{B} \right)=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\left( \widehat{B} \right)}=\dfrac{3\sqrt{15}}{16}\)

Sử dụng Casio fx 580vnx tính các phép toán trên và lưu kết quả \(\sin \left( \widehat{B} \right)\) vào B

 

Áp dụng định lý hàm sin vào \(\Delta BCD\)

\(2R=\dfrac{CD}{\sin \left( \widehat{B} \right)}\Rightarrow R=\dfrac{CD}{2\sin \left( \widehat{B} \right)}=\dfrac{A}{2B}=\dfrac{4\sqrt{690}}{45}\)

Ta có \(BD=\dfrac{AB}{2}=1\left( cm \right)\)

Diện tích: \(\Delta BCD\) bằng \({{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{2}BD.BC.\sin \left( \widehat{B} \right)=\dfrac{3\sqrt{15}}{8}\)

Sử dụng Casio fx 580vnx tính các phép toán trên và lưu kết quả vào C

 

Mặt khác \({{S}_{BCD}}=pr=\dfrac{BC+BD+CD}{2}r\Rightarrow r=\dfrac{2{{S}_{BCD}}}{BC+BD+CD}\approx 0.346\)

                                                                 

Bài toán 2:

Cho \(\Delta ABC\) với các cạnh \(AB=21\left( cm \right)\) ; \(AC=28\left( cm \right)\)  và \(BC=35\left( cm \right)\)

  1. Chứng minh \(\Delta ABC\) vuông. Tính diện tích \(\Delta ABC\)
  2. Tính số đo các góc B và C
  3. Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại I. Tính IA, IB và IC
  4. Tính tỉ số diện tích của \(\Delta ABI\) và \(\Delta ABC\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Chứng minh \(\Delta ABC\) vuông. Tính diện tích \(\Delta ABC\)

Ta có: \(A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{21}^{2}}+{{28}^{2}}=1225={{35}^{2}}=B{{C}^{2}}\)

Như vậy theo định lý Pytago đảo thì \(\Delta ABC\) vuông tại A

Suy ra \({{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=294\left( c{{m}^{2}} \right)\)

Câu b: Tính số đo các góc B và C

Ta có: \({{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}BC.AB.\sin \left( \widehat{B} \right)\Rightarrow \sin \left( \widehat{B} \right)=\dfrac{2{{S}_{ABC}}}{BC.AB}=\dfrac{4}{5}\)

Suy ra: \(\widehat{B}\approx {{53}^{0}}{{8}^{/}}\) và \(\widehat{C}={{90}^{0}}-\widehat{B}\approx {{36}^{0}}{{52}^{/}}\)

Câu c: Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại I. Tính IA, IB và IC

  Trong \(\Delta ABC\) có  AI là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\) suy ra \(\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{AB}{AC}\) hay \(\dfrac{IB}{AB}=\dfrac{IC}{AC}\)

Áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{IB}{AB}=\dfrac{IC}{AC}=\dfrac{IB+IC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}=\dfrac{35}{21+28}=\dfrac{5}{7}\)

Suy ra: \(IB=\dfrac{5}{7}AB=15\left( cm \right)\) và \(IC=\dfrac{5}{7}AC=20\left( cm \right)\)

Ta có \(\cos \left( B \right)=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\left( B \right)}=\dfrac{3}{5}\)

Áp dụng định lý hàm cosin vào \(\Delta AIB\) ta có :

\(IA=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{I}^{2}}-2AB.BI.\cos \left( B \right)}=12\sqrt{2}\left( cm \right)\)

Câu d: Tính tỉ số diện tích của \(\Delta ABI\) và \(\Delta ABC\)

\(\dfrac{{{S}_{ABI}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB.IB.sin\left( \widehat{B} \right)}{\dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \left( \widehat{B} \right)}=\dfrac{IB}{BC}=\dfrac{15}{35}=\dfrac{3}{7}\)

keywords: hệ thức lượng, hệ thức lượng trong tam giác