Phương trình bậc 2 là một chuyên đề cơ bản và luôn xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh 10. Trong đó, định lý Viet là một trong những kiến thức cơ bản và được áp dụng rất nhiều trong chuyên đề này. Nhằm hỗ trợ học sinh ôn tập, chuẩn bị cho kỳ tuyển sinh 10 sắp tới, Diễn đàn máy tính cầm tay sẽ tổng hợp một số kiến thức cơ bản của định lý Viet và vận dụng kiến thức này để giải quyết một số bài toán cụ thể.

Ôn tập lý thuyết

Định lý Viet thuận

Nếu phương trình  \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thì \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{-b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a} \\\end{align} \right.\)

Hệ quả: Cho phương trình bậc 2 :\(a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)\)\(\left( * \right)\)

  • Nếu \(a+b+c=0\) thì phương trình \(\left( * \right)\)có nghiệm \({{x}_{1}}=1\) và nghiệm thứ hai \({{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}\)
  • Nếu \(a-b+c=0\) thì phương trình \(\left( * \right)\)có nghiệm \({{x}_{1}}=-1\) và nghiệm thứ hai \({{x}_{2}}=\dfrac{-c}{a}\)

Định lý Viet đảo

Nếu có 2 số \({{x}_{1}}\) , \({{x}_{2}}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=S \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=P \\\end{align} \right.\) và \({{S}^{2}}-4P\ge 0\) thì \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}-Sx+P=0\)

Chú ý:Trước khi áp dụng định lý Viet ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài toán 1.

  1. Cho phương trình \({{x}^{2}}-2qx+5=0\) có một nghiệm bằng \(2\). Tìm \(q\) và nghiệm thứ 2 của phương trình.
  2. Cho phương trình \({{x}^{2}}-qx+50=0\) có hai nghiệm phân biệt với một nghiệm bẳng 2 lần nghiệm kia. Xác định \(q\) và 2 nghiệm của phương trình.
  3. Cho phương trình \({{x}^{2}}-4x+q=0\) có hiệu 2 nghiệm bẳng \(2\). Xác định \(q\) và 2 nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

a. Phương trình \({{x}^{2}}-2qx+5=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta =4{{q}^{2}}-20>0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x<-\sqrt{5} \\ & x>\sqrt{5} \\\end{align} \right.\)

Gọi \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}-2qx+5=0\) và \({{x}_{1}}=2\)

Thay \({{x}_{1}}=2\)vào phương trình \({{x}^{2}}-2qx+5=0\)ta được \(4-4q+5=0\) suy ra \(q=\dfrac{9}{4}\) (nhận)

Theo định lý Viet ta có \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=5\) \(\Rightarrow {{x}_{2}}=\dfrac{5}{{{x}_{1}}}=\dfrac{20}{9}\)

b. Phương trình \({{x}^{2}}-qx+50=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta ={{q}^{2}}-200>0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x<-10\sqrt{2} \\ & x>10\sqrt{2} \\\end{align} \right.\)

 

Gọi \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}-qx+50=0\)

Theo định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=q \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=50 \\\end{align} \right.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \({{x}_{1}}=2{{x}_{2}}\)

Như vậy ta có: \(2x_{2}^{2}=50\) \(\Leftrightarrow x_{2}^{2}=25\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}_{2}}=-5 \\ & {{x}_{2}}=5 \\\end{align} \right.\)

Trường hợp 1: \({{x}_{2}}=-5\)

Suy ra \({{x}_{1}}=2{{x}_{2}}=-10\) và \(q={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-15\) (thỏa)

Trường hợp 2: \({{x}_{2}}=5\)

Suy ra \({{x}_{1}}=2{{x}_{2}}=10\) và \(q={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=15\) (thỏa)

c. Phương trình \({{x}^{2}}-4x+q=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta =16-4q>0\)\(\Leftrightarrow q<4\)

Gọi \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}-4x+q=0\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \({{x}_{1}}-{{x}_{2}}=2\)

Theo định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=q \\\end{align} \right.\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \\& {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=2 \\\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}=3 \\ & {{x}_{2}}=1 \\\end{align} \right.\)

Suy ra \(q={{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\)(thỏa)

Bài toán 2. Cho phương trình \({{x}^{2}}-3x-4=0\) có hai nghiệm phân biệt là \({{x}_{1}}\) và \({{x}_{2}}\). Không giải tìm nghiệm của phương trình, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là \(y\) thỏa mãn \({{y}_{1}}={{x}_{2}}+\dfrac{1}{{{x}_{1}}}\) và \({{y}_{2}}={{x}_{1}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}\)

Hướng dẫn giải

Do \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}-3x-4=0\) nên theo định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-4 \\\end{align} \right.\)

Phương trình bậc 2 theo \(y\) có dạng \({{y}^{2}}-Py+Q=0\) với \(\left\{ \begin{align} & P={{y}_{1}}+{{y}_{2}}={{x}_{2}}+\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+{{x}_{1}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( 1+\dfrac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)=\dfrac{9}{4} \\& Q={{y}_{1}}{{y}_{2}}=\left( {{x}_{2}}+\dfrac{1}{{{x}_{1}}} \right)\left( {{x}_{1}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}} \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}+\dfrac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}+2=\dfrac{-9}{4} \\\end{align} \right.\)

Theo định lý Viet đảo ta có phương trình cần tìm là \({{y}^{2}}-\dfrac{9}{4}y-\dfrac{9}{4}=0\) \(\Leftrightarrow 4{{y}^{2}}-9y-9=0\)

Bài toán 3.  Cho phương trình \({{x}^{2}}-3x+2=0\). Không giải tìm nghiệm của phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

  1. \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\)
  2. \({{x}_{1}}^{3}+x_{2}^{3}\)
  3. \(\dfrac{1}{x_{1}^{2}}+\dfrac{1}{x_{2}^{2}}\)
  4. \(x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac>0\)  suy ra  phương trình \({{x}^{2}}-3x+2=0\)có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)

Theo định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{-b}{a}=3 \\ & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}=2 \\\end{align} \right.\)

  1. \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\)\(={{3}^{2}}-2\times 2=5\)
  2. \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\) \(={{3}^{3}}-3\times 2\times 3=9\)
  3. \(\dfrac{1}{x_{1}^{2}}+\dfrac{1}{x_{2}^{2}}=\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{5}{{{2}^{2}}}=\dfrac{5}{4}\)
  4. \(x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=2\times 3=6\)

Bài toán 4. Cho phương trình \({{x}^{2}}+4\sqrt{3}x+8=0\). Không giải phương trình, tính

\(A=\dfrac{6x_{1}^{2}+10{{x}_{1}}{{x}_{2}}+6x_{2}^{2}}{5{{x}_{1}}x_{2}^{3}+5x_{1}^{3}{{x}_{2}}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac=16>0\)  suy ra  phương trình \({{x}^{2}}+4\sqrt{3}x+8=0\)có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)

Theo định lý Viet ta có $ \left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{-b}{a}=-4\sqrt{3} \\ & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}=8 \\\end{align} \right.\\$

$A=\dfrac{6x_{1}^{2}+10{{x}_{1}}{{x}_{2}}+6x_{2}^{2}}{5{{x}_{1}}x_{2}^{3}+5x_{1}^{3}{{x}_{2}}}\\$

$ =\dfrac{6\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+10{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{5{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( x_{2}^{2}+x_{1}^{2} \right)}\\$

$=\dfrac{6\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+10{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{5{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}\\$

$=\dfrac{6\left( {{\left( -4\sqrt{3} \right)}^{2}}-2\times 8 \right)+10\times 8}{5\times 8\times \left( {{\left( -4\sqrt{3} \right)}^{2}}-2\times 8 \right)}\\$

$ =\dfrac{17}{80}\\$