Số phức là một chuyên đề hay và tương đối khó, thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc Gia những năm gần đây. Do đó, Diễn Đàn Máy Tính Cầm Tay chúng tôi sẽ gởi đến bạn đọc chuỗi các bài viết  sử dụng máy tính Casio fx 580 vnx  để giải quyết nhanh các bài toán về Số Phức. Chuyên đề này bao gồm các phần:

Phần 1: Sơ lược các tính năng Số phức trên máy tính Casio fx 580 vnx

Phần 2: Giải quyết các phép toán cơ bản về số phức

Phần 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình nghiệm phức

Phần 4: Tìm đường thẳng biểu diễn tập hợp số phức

Phần 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường tròn

Phần 6: Tìm cực trị trên tập số phức

Phần 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc 3

Phần 8: Ứng dụng số phức vào phép tịnh tiến trong mặt phẳng

Phần 9: Ứng dụng số phức vào phép đối xứng trục và đối xứng tâm trong mặt phẳng

Phần 9:ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM TRONG MẶT PHẲNG

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày đến người đọc cách vận dụng số phức để giải quyết một số bài toán về phép đối xứng trục và đối xứng tâm trong mặt phẳng \(Oxy\) dưới sự hỗ trợ của máy tính Casio fx 580 vnx.

Bài toán 1. Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:2x-3y+1=0\). Gọi đường thẳng \({d}’\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( 0;-2 \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \({d}’\) là:

  1. \(2x-3y-2=0\)
  2. \(2x-3y=0\)
  3. \(2x-3y+5=0\)
  4. \(2x-3y+11=0\)

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có:

  • VTPT của đường thẳng \(d\) là \({{\vec{n}}_{d}}=\left( 2;-3 \right)\), suy ra \({{z}_{{{{\vec{n}}}_{d}}}}=2-3i\) và \(C=1\)
  • \(I\left( 0;-2 \right)\Rightarrow \) dạng phức hóa của \(I\) là \({{z}_{I}}=-2i\)

Do \({d}’\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(I\) nên ta có \(\left\{ \begin{align} & {{{\vec{n}}}_{{{d}’}}}={{{\vec{n}}}_{d}}=\left( 2;-3 \right) \\ & {C}’=\operatorname{Re}\left( 2{{z}_{{{n}_{d}}}}.{{{\bar{z}}}_{I}}-C \right) \\\end{align} \right.\)

Sử dụng máy tính Casio để tìm \({C}’=\operatorname{Re}\left[ 2\left( 2-3i \right)\left( \overline{-2i} \right)-1 \right]\)

Vậy: \({d}’:2x-3y+11=0\)

Đáp án D

Bài toán 2. Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9\). Gọi đường tròn \(\left( {{C}’} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng tâm \(M\left( 1;2 \right)\). Vậy phương trình đường tròn \(\left( {{C}’} \right)\) là:

  1. \(\left( {{C}’} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( x-5 \right)}^{2}}=9\)
  2. \(\left( {{C}’} \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( x-3 \right)}^{2}}=9\)
  3. \(\left( {{C}’} \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( x+3 \right)}^{2}}=9\)
  4. \(\left( {{C}’} \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( x-4 \right)}^{2}}=9\)

Hướng dẫn giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( 3;-1 \right)\) và bán kính \(R=3\)

Gọi \({I}’\) và \({R}’\) lần lượt là tâm và bán kính của \(\left( {{C}’} \right)\)

Do \(\left( {{C}’} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng tâm \(M\) nên ta có \(\left\{ \begin{align}  & {R}’=R=3 \\ & {{z}_{{{I}’}}}=2{{z}_{M}}-{{z}_{I}} \\\end{align} \right.\) \({{z}_{{{I}’}}}=2{{z}_{M}}-{{z}_{I}}\)\(=2\left( 1+2i \right)-\left( 3-i \right)\)

Suy ra \({I}’\left( -1;5 \right)\). Vậy \(\left( {{C}’} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( x-5 \right)}^{2}}=9\)

Đáp án A

Bài toán 3. Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A\left( -1;3 \right)\)và đường thẳng \(d:x-2y=0\). Tìm ảnh \({A}’\)  của điểm \(A\) qua phép đối xứng qua đường thẳng \(d\)

  1. \({A}’\left( -\dfrac{9}{4};\dfrac{12}{4} \right)\)
  2. \({A}’\left( \dfrac{9}{5};-\dfrac{13}{5} \right)\)
  3. \({A}’\left( \dfrac{3}{4};\dfrac{-4}{5} \right)\)
  4. \({A}’\left( -\dfrac{3}{4};\dfrac{4}{5} \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có :

  • VTPT của đường thẳng \(d\) là \(\vec{n}=\left( 1;-2 \right)\), suy ra \({{z}_{{\vec{n}}}}=1-2i\)
  • \(A\left( -1;3 \right)\Rightarrow {{z}_{A}}=-1+3i\)

Nhập vào máy tính: \(\operatorname{Re}\left( -\dfrac{{{z}_{{\vec{n}}}}.{{{\bar{z}}}_{A}}+C}{{{\left| {{z}_{{\vec{n}}}} \right|}^{2}}} \right)\) =\(\operatorname{Re}\left( -\dfrac{\left( 1-2i \right)\times Conjg\left( -1+3i \right)}{{{\left| 1-2i \right|}^{2}}} \right)\) \(=\operatorname{Re}\left( z \right)\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\). Khi đó ta có: \({{z}_{H}}={{z}_{A}}+{{z}_{{\vec{n}}}}.\operatorname{Re}\left( z \right)\)

Do H là trung điểm của đoạn \[A{A}’\] nên \({{z}_{{{A}’}}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{A}}\)

Vậy \({A}’\left( \dfrac{9}{5};-\dfrac{13}{5} \right)\)

Đáp án B

Bài toán 4. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=13\). Phương trình đường tròn \(\left( {{C}’} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng trục \(d:x+y=0\)

  1. \({{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=13\)
  2. \({{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=13\)
  3. \({{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}=13\)
  4. \({{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( x+2 \right)}^{2}}=13\)

Hướng dẫn giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( 2;-3 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{13}\)

VTPT của đường thẳng \(d\) là \(\vec{n}=\left( 1;1 \right)\), suy ra \({{z}_{{\vec{n}}}}=1+i\)

Do \(\left( {{C}’} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng trục \(d\) nên \(\left\{ \begin{align} & {R}’=R=\sqrt{13} \\ & {I}’={{D}_{d}}\left( I \right) \\\end{align} \right.\)

Tìm ảnh \({I}’\)của \(I\) qua phép đối xứng trục \(d\) tương tự bài toán 1

\(I\left( 2;-3 \right)\)suy ra \({{z}_{I}}=2-3i\)

Như vậy ta có: \(\operatorname{Re}\left( z \right)=\operatorname{Re}\left( -\dfrac{\left( 1+i \right).\left( \overline{2-3i} \right)}{{{\left| 1+i \right|}^{2}}} \right)\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên đường thẳng \(d\). Khi đó ta có: \({{z}_{H}}={{z}_{I}}+{{z}_{{\vec{n}}}}.\operatorname{Re}\left( z \right)\)

Do H là trung điểm của đoạn \({I}’I\) nên \({{z}_{{{I}’}}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{I}}\)

Suy ra \({I}’\left( 3;-2 \right)\)

Vậy \(\left( {{C}’} \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=13\)

Đáp án A


Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết PHẦN 9: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM TRONG MẶT PHẲNG . Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về bài viết cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO