Đề bài:

Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y=3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x} \left ( 1\leqslant x\leqslant 5 \right )

Bài giải:

a.GTLN:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:

\left ( 3; 4 \right ) và \left ( \sqrt{x-1}; \sqrt{5-x} \right ) ta có

y^{2}=\left ( 3\sqrt{x-1} +4\sqrt{5-x}\right )^{2}\leqslant \left ( 3^{2}+4^{2} \right )\left ( \left ( \sqrt{x-1} \right )^{2}+\left ( \sqrt{5-x} \right )^{2} \right )

\Rightarrow y^{2}\leqslant 100\Rightarrow y\leqslant 10

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\Rightarrow x=\frac{61}{25}.

b.GTNN

Ta có

y=3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}=3\sqrt{x-1}+3\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x} \Leftrightarrow y=3\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{5-x} \right )+\sqrt{5-x}

 

Đặt t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x} thì t^{2}=4+2\sqrt{\left ( x-1 \right )\left ( 5-x \right )}\geqslant 4

Vì t\geqslant 0 nên suy ra t\geqslant 2 và dấu bằng xảy ra khi x=1 hoặc x=5

Vậy y\geqslant 3.2+0=6.

Dấu bằng xảy ra khi x=5.

Do đó, GTNN của y là 6 khi x=5.