Đề bài: Cho dãy số a_{n} được xác định như sau:

a_{1}=1; a_{2}=3 và a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+1 ( n là số nguyên dương)

a) Viết quy trình ấn phím liên tục tính a_{n}.

b) Tính a_{15}, a_{20}, a_{30}.

c) Chứng minh rằng A=4a_{n}.a_{n+2}+1 là số chính phương.

Bài giải:

a/ Chuyển dãy số về dạng:

\left\{\begin{matrix} a_{1}=1; a_{2}=3 & & \\ a_{n}=2a_{n-1}-a_{n}+1\left ( n\geqslant 3 \right ) & & \end{matrix}\right.

Quy trình bấm máy:

X=X+1:A=2B-A+1:B=2A-B+1

Bấm CALC, nhập vào X=2; A=1; B=3.

b/ Tính được a_{15}, a_{20}, a_{30}.

c/ Tìm quy luật dãy số (trong quá trình bấm máy trên nên ghi lại luôn mặc dù đề bài không yêu cầu tính):

Ta thấy a_{1}=1; a_{2}=3; a_{3}=6; a_{4}=10; a_{5}=15; a_{6}=23;...

Do đó, ta có thể dự đoán a_{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}.

Chứng minh: Quy nạp.

Từ đó ta được A=4a_{n}a_{n+2}+1=n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )+1

Đưa n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )+1 về bình phương của một tam thức bậc hai như sau:

Bước 1: Tìm hệ số đứng trước n^{2}

Vậy hệ số đứng trước n^{2} là 1.

Bước 2: Tìm hệ số đứng trước n:

Vậy hệ số đứng trước n là 3.

Bước 3: Hệ số tự do:

Vậy ta được

A=4a_{n}a_{n+2}+1=n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )+1=\left ( n^{2}+3n+1 \right )^{2}