Bài toán: Cho dãy số \({a_n}\) được xác định như sau:

\(a_1=1; a_2=3\) và \(a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+1\) ( \(n\) là số nguyên dương)

a)Viết qui trình ấn phím liên tục tính \(a_n\).

b) Tính \(a_{15}, a_{20},a_{30}\).

c) Chứng minh rằng \(A=4a_n.a_{n+2}+1\) là số chính phương.

Bài giải

a/ Chuyển dãy số về dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l} {a_1} = 1;{a_2} = 3\\ {a_n} = 2{a_{n – 1}} – {a_n} + 1\left( {n \ge 3} \right) \end{array} \right.\)

 

Quy trình bấm máy:

$$X = X + 1:A = 2B – A + 1:B = 2A – B + 1$$

Bấm CALC, nhập vào \(X=2; A=1; B=3\).

b/ Tính được \(a_{15}, a_{20},a_{30}\).

c/ Tìm quy luật cho dãy số (trong quá trình bấm máy trên nên ghi lại luôn mặc dù đề bài không yêu cầu tính):

Ta thấy: \(a_1=1;a_2=3;a_3=6:a_4=10;a_5=15;a_6=23;…\)

Nên dự đoán: \(a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\).

Chứng minh: Quy nạp.

Từ đó ta được \(A=4a_n.a_{n+2}+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1\)

Đưa \( n(n+1)(n+2)(n+3)+1\) về bình phương của một tam thức bậc 2 như sau:

Vậy ta được: \(A=4a_n.a_{n+2}+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=\left (n^2+3n+1\right)^2\).