Bài 1:Có 45 bóng đèn được đánh số lần lượt từ 0, 1, 2, 3, 4… Trong một phút chỉ có một bóng đèn được sáng. Ở phút đầu tiên (phút thứ 1) thì bòng đèn số 0 sáng. Các phút sau bóng đèn sáng tiếp theo là ở vị trí: (Vị trí bóng đèn sáng hiện tại × 2015 + 17) mod 45.
Hỏi phút thứ 26 thì bóng đèn nào đang sáng?

(Trích câu hỏi từ facebook Diễn đàn giải toán nhanh bằng MTCT)

Bài giải:

Với bài này chúng ta có thể giải nhanh bằng máy tính như sau:

Nhập vào màn hình biểu thức:

B=\left ( 2015A+17 \right )-Int\left ( \left ( 2015A+17 \right )\div 45 \right )\times 45:A=B

Bấm máy:

QxQr(2015Qz+17)pQ(2015Qz+17)P45)O45PQzQrQx
Nhập xong bấm r

máy hỏi giá trị A? Nhập 0 và bấm =

+Bấm liên tiếp bằng một vài lần ta cũng có thể đoán được là ở phút thứ 26 thì bóng đèn số 17 sẽ sáng.
Tuy nhiên ta cứ tiếp tục bấm bằng và đếm 25 lần giá trị B xuất ra, ta được
Kết quả là bóng đèn số 17 sáng.
Bài 2: Tìm bốn chữ số cuối cùng của 2222^{5555}+5555^{2222}
(Câu hỏi của thành viên khoigrai1)
Bài giải:
Phân tích:
Áp dụng Quy luật các chữ số cuối của lũy thừa, ta có:
+ 2222 phân tích ra thừa số nguyên tố thì chỉ chứa thừa số 2, không chứa thừa số 5, nên:
2222^{5555}\equiv 2222^{500\times 11+55}\equiv 9376\times 2222^{55}\left ( mod10000 \right )
Ta phải tính tiếp 2222^{55} . Mà 55=32+16+7=2^{5}+2^{4}+2^{2}+3
Nhập vào màn hình biểu thức \left ( Ans-Int\left ( Ans:10000 \right )\times 10000 \right )^{2}
Trước đó ta gán giá trị Ans=2222.
Vậy ta tính được: (kết quả lấy theo mod 10000)
2222^{2}\equiv 7284
2222^{4}\equiv 6656
2222^{8}\equiv 2336
2222^{16}\equiv 6896
2222^{32}\equiv 4816
Vậy2222^{5555}\equiv 9376\times 2222^{55}\equiv 8386\left ( mod10000 \right )
Tương tự ta cũng tính được
5555 phân tích ra thừa số nguyên tố thì chỉ chứa thừa số 5, không chứa thừa số 2, nên: 5555^{2222}\equiv 5555^{555\times 5+2}\equiv 5625\left ( mod10000 \right )
Do đó 4 chữ số cuối cần tìm là 3993.