Ví dụ 1: Đề Thi Thử THPT QUỐC GIA 2018- Trường THPT Kinh Môn 2- Hải Dương

Cho hàm số \(f(x)\)   và  \(f(x) \ne 0;\) \(f'(x) = (2x + 1).{f^2}(x)\) và \(f(1) = – 0.5\). Tính tổng \(f(1) + f(2) + f(3) + … + f(2017) = \frac{a}{b};(a \in {\rm Z};b \in {\rm N})\)  với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Chọn khẳng định đúng.

A. \(\frac{a}{b} < – 1\)                     B. \(a \in \left( { – 2017;2017} \right)\)           C. \( b – a = 4035\)            D. \( b – a = 4035\)

Giải.

The đề ta có:\(f'(x) = (2x + 1).{f^2}(x) \Leftrightarrow \frac{{f'(x)}}{{{f^2}(x)}} = 2x + 1 \Leftrightarrow \int {\frac{{f'(x)}}{{{f^2}(x)}}dx = \int {(2x + 1)dx} } \Leftrightarrow \int {\frac{{f'(x)}}{{{f^2}(x)}}} dx = {x^2} + x + {C_1}\)

+ Tìm nguyên hàm của \(I = \int {\frac{{f'(x)}}{{{f^2}(x)}}} dx\)

Đặt \(t = f(x) \Rightarrow dt = f'(x)dx\)

\(I = \int {\frac{1}{{{t^2}}}dt = \frac{{ – 1}}{t} + C = \frac{{ – 1}}{{f(x)}} + {C_2}}\)

+ Tìm \(f(x)\) , ta có  \(\frac{{ – 1}}{{f(x)}} + {C_2} = {x^2} + x + {C_1} \Leftrightarrow \frac{{ – 1}}{{f(x)}} = {x^2} + x + C \Leftrightarrow f(x) = \frac{{ – 1}}{{{x^2} + x + C}}\)

Từ đó ta có  \(f(1) = – 0,5 \Leftrightarrow \frac{{ – 1}}{{{1^2} + 1 + C}} = \frac{{ – 1}}{2} \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = \frac{{ – 1}}{{{x^2} + x}}\)

+ Tính tổng \(f(1) + f(2) + f(3) + … + f(2017) \)

Bằng cách sử dụng máy tính Casio ta thể tính tổng dễ dàng và nhanh chống.

Vậy \(a=-2017,b=2018 \Rightarrow b-a=4035\Rightarrow Chọn B\)