Trang Chủ / Bài Viết / Toán THPT / BÀI GIẢI MINIGAME 1 (GIẢI TÍCH)

BÀI GIẢI MINIGAME 1 (GIẢI TÍCH)

Câu 1:  Cho $f$ là hàm số liên tục trên đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right ]$ và thoả đẳng thức:

$2f(x)+3f\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt{\tan x}$.

Đặt $\displaystyle I=\int_0^\dfrac{\pi}{4}f(x)dx$.

Hỏi $I$ gần đúng với giá trị nào sau đây:

A. $0,0975$              B. $1,0975$                  C. $0,4875$               D.$1,4875$

Câu 2: Câu hỏi phụ. Biết $I$ được viết dưới dạng:

$I=\dfrac{\sqrt{2}}{20}\left[a\pi +b\ln(3+2\sqrt{2})\right]$

với $a$ và $b$ là hai số nguyên.

A. $a+b=0$         B. $a+b=1$          C. $a+b=-1$                    D. $a-b=0$

Bài giải:

Câu 1: Cho $f$ là hàm số liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$, ta có công thức

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$$

Chứng minh bằng công thức đổi biến số, đặt $t=a+b-x$.

Áp dụng công thức, lấy tích phân hai vế của đẳng thức

$$2f(x)+3f\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt{\tan x}$$

ta có:

$$5I=\int_0^{\pi/4}\sqrt{\tan x}dx \Rightarrow I= \dfrac{1}{5}\int_0^{\pi/4}\sqrt{\tan x}dx$$

chọn A.

Câu hỏi phụ.

  • Tính  $I$ trên máy tính lưu vào F
  • Đặt $a=x$ thử phương án A với $a+b=0\Rightarrow b=-x$ thay vào phương trình

$I=\dfrac{\sqrt{2}}{20}\left[a\pi +b\ln(3+2\sqrt{2})\right]$

  • Bấm SHIFT SOLVE, khi máy hỏi F bấm mũi tên xuống, khi máy tính hỏi X, nhập X=0 rồi nhấn =
  • Vậy với $a=1, b=-1$ ycbt được thỏa. Vậy ta chọn A.

Bài giải tự luận tính tích phân $K=\displaystyle \int_0^{\pi/4}\sqrt{\tan x}dx$.

Đặt $t=\sqrt{\tan x}\Rightarrow dx=\dfrac{2dt}{1+t^4}$.

Khi đó: $K=\displaystyle \int_0^{\pi/4}\sqrt{\tan x}dx=\int_0^1\dfrac{2t^2dt}{1+t^4}$.

Bằng phương pháp hệ số bất định ta phân tích được:

$$\dfrac{2t^2}{1+t^4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\left[\dfrac{t}{t^2-t\sqrt2+1}-\dfrac{t}{t^2+t\sqrt2+1}\right]$$

Biến đổi

$$\dfrac{2t^2}{1+t^4}=\dfrac{\sqrt2}{4}\left[\dfrac{2t-\sqrt2+\sqrt2}{t^2-t\sqrt2+1}-\dfrac{2t+\sqrt2-\sqrt2}{t^2+t\sqrt2+1}\right]$$

 

Áp dụng công thức: $\displaystyle \int\dfrac{dx}{ax^2+bx+c}=\dfrac{2}{\sqrt{-\Delta}}\left[\arctan\dfrac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta}}\right]+C$

với $\Delta =b^2-4ac <0$, ta có:

$$K=\int_0^1\dfrac{2t^2dt}{1+t^4}=\dfrac{\sqrt2}{4}\left[\ln\dfrac{t^2-t\sqrt2+1}{t^2+t\sqrt2+1}+2\arctan(t\sqrt2-1)+2\arctan(t\sqrt2+1)\right]_0^1$$

 

$$K=\int_0^1\dfrac{2t^2dt}{1+t^4}=\dfrac{\sqrt2}{4}\left[\pi -\ln(3+2\sqrt2)\right]$$

 

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
  • nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009).
  • nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011).
  • nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).
  • Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM về Hình học cao cấp, Lý thuyết Liên thông, Tôpô Đại số  và K-lý thuyết.

Bài Viết Tương Tự

GIẢI BÀI TOÁN TRẢ NỢ DẦN với MÁY TÍNH CASIO FX 580VNX

Bài toán Trả nợ dần (Amortization) là một phần của bộ môn Toán tài chính. …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết