Trang Chủ / Bài Viết / Toán THCS / ÔN TẬP TUYỂN SINH 10- BIỆN LUẬN NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

ÔN TẬP TUYỂN SINH 10- BIỆN LUẬN NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Cơ sở lý thuyết

ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\  & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\ \end{align} \right.\)

Phương trình có hai nghiệm kép khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\  & \Delta =0,\left( {\Delta }’=0 \right) \\ \end{align} \right.\)

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\ & \Delta <0,\left( {\Delta }'<0 \right) \\ \end{align} \right.\)

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi \(\left\{ \begin{align} & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\  & P>0 \\ \end{align} \right.\)

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(P<0\) (khi \(P<0\) thì hiển nhiên ta có \(\Delta >0\) do đó ta không cần kiểm tra điều kiện \(\Delta >0\))

Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\  & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\  & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\  & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{align} \right.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\  & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\  & S<0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right.\)

Bài toán 1. Cho phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-4m+3=0\) với \(m\) là tham số

  1. Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
  2. Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
  3. Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
  4. Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
  5. Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.

Hướng dẫn giải.

a. Phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-4m+3=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

\({\Delta }’\ge 0\) \(\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)\ge 0\) \(\Leftrightarrow 6m-2\ge 0\) \(\Leftrightarrow m\ge \dfrac{1}{3}\)

Vậy khi \(m\ge \dfrac{1}{3}\) thì phương trình đã cho có nghiệm

b. Phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{align}& {\Delta }’>0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)>0 \\& {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-4m+3>0 \\ \end{align} \right.\)  \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>\dfrac{1}{3} \\  & m<1\vee m>3 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \dfrac{1}{3}<m<1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right.\)

Vậy phương trình trên có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{3}<m<1\) hoặc \(m>3\)

c. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(P<0\)\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+3<0\)\(\Leftrightarrow 1<m<3\)

d. Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{align} & {\Delta }’>0 \\  & S<0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)>0 \\ & 2\left( m+1 \right)<0 \\  & {{m}^{2}}-4m+3>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>\dfrac{1}{3} \\  & m<-1 \\  & m<1\vee m>3 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \) vô nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị \(m\) để phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm âm

e. Phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{align} & {\Delta }’>0 \\  & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)>0 \\  & 2\left( m+1 \right)>0 \\ & {{m}^{2}}-4m+3>0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>\dfrac{1}{3} \\  & m>-1 \\  & m<1\vee m>3 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \dfrac{1}{3}<m<1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right.\)

Vậy phương trình trên có hai nghiệm cùng dương khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{3}<m<1\) hoặc \(m>3\)

Bài toán 2.  Cho phương trình \(2{{x}^{2}}-4x-3+m=0\) với \(x\) là ẩn số và \(m\) là tham số

  1. Tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)
  2. Tìm \(m\) để \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8\)

Hướng dẫn giải       

a. Phương trình \(2{{x}^{2}}-4x-3+m=0\) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)khi và chỉ khi

\({\Delta }’>0\) \(\Leftrightarrow {{b}^{2}}-ac>0\) \(\Leftrightarrow 4-2\left( -3+m \right)>0\) \(\Leftrightarrow 5-m>0\Leftrightarrow m<5\)

Vậy với \(m<5\) thì phương trình \(2{{x}^{2}}-4x-3+m=0\) có 2 nghiệm phân biệt

b. Xét phương trình \(2{{x}^{2}}-4x-3+m=0\) khi \(m<5\)

Theo định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{align}  & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\  & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{-3+m}{2} \\ \end{align} \right.\)

Ta có: \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8\)\(\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=8\) \(\Leftrightarrow 4-\left( -3+m \right)=8\) \(\Leftrightarrow m=-1\) (nhận)

Vậy với \(m=-1\) thì \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8\)

Bài toán 3. Cho phương trình \({{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-3m=0\) với \(m\) là tham số và \(x\) là ẩn số

  1. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\)
  2. Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm \(m\) để \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\)

Hướng dẫn giải

a. Ta có: \(\Delta ={{\left( m-3 \right)}^{2}}+12m={{m}^{2}}+6m+9={{\left( m+3 \right)}^{2}}\ge 0\forall m\)

Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\)(đpcm)
Theo định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3-m \\& P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3m \\\end{align} \right.\)

Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\\$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\\$

$\Leftrightarrow {{\left( 3-m \right)}^{2}}+9m=9\\$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m=0\\$

$\Leftrightarrow m\left( m+3 \right)=0\\$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=0 \\& m=-3 \\\end{align} \right.\\$

Nhận xét.

Với \(m=0\) thì \(\Delta >0\), suy ra phương trình \({{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-3m=0\)có hai nghiệm phân biệt .

Với \(m=-3\) thì \(\Delta =0\), suy ra phương trình \({{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-3m=0\)có hai nghiệm kép.

Bài toán 4. Cho phương trình \({{x}^{2}}-2mx+m-2=0\) với \(m\) là tham số và \(x\) là ẩn số

  1. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\)
  2. Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm \(m\) để \(M=\dfrac{-48}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

a.Ta có \(\Delta ={{m}^{2}}-\left( m-2 \right)\) \(={{m}^{2}}-m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}\) \(={{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{7}{4}\ge \dfrac{7}{4}>0\forall m\)

Suy ra phương trình \({{x}^{2}}-2mx+m-2=0\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\)(đpcm).

b. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\& P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-2 \\\end{align} \right.\\$

$M=\dfrac{-48}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ \(=\dfrac{-48}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\dfrac{-48}{4{{m}^{2}}-8\left( m-2 \right)}\) $latex =\dfrac{-48}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12}\\$

Ta có: ${{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12\ge 12\forall m\\$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12}\le \dfrac{1}{12}\forall m\\$

$\Leftrightarrow \dfrac{-48}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12}\ge -4\forall m\\$

Suy ra \(Max\left( M \right)=-4\). Dấu \(”=”\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left( 2m-2 \right)=0\Leftrightarrow m=1\)

Bài toán 5. Cho phương trình \({{x}^{2}}-mx-1=0\) với \(m\) là tham số và \(x\) là ẩn số

  1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
  2. Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị \(M=\dfrac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\dfrac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}\)

Hướng dẫn giải

a. Xét phương trình \({{x}^{2}}-mx-1=0\) (\(m\) là tham số và \(x\) là ẩn số) ta có: \(P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1<0\forall m\)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu (đpcm)

b. $M=\dfrac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\dfrac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}\\$

$M={{x}_{1}}+1-\dfrac{1}{{{x}_{1}}}-{{x}_{2}}-1+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}\\$

$M=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+\dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\\$

$M=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 1+\dfrac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)\\$

Theo định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\  & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\ \end{align} \right.\)

Ta có: \({{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) \(={{m}^{2}}+4\) \({{M}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}{{\left( 1+\dfrac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)}^{2}}=\left( {{m}^{2}}+4 \right)\times 0=0\)

Vậy \(M=0\)

 

About Ngọc Hiền Bitex

Bitex Ngọc Hiền

Bài Viết Tương Tự

VỀ MỘT BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu hỏi của một bạn gửi thầy Sơn về vấn đề chuyển kết quả từ …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết